我們討論辛算法的線性穩(wěn)定性和非線性穩(wěn)定性,從動(dòng)力系統(tǒng)和計(jì)算的角度論述了研究辛算法的這兩類穩(wěn)定性問題的重要性,分析總結(jié)了相關(guān)重要結(jié)果.我們給出了解析方法的明確定義,證明了穩(wěn)定函數(shù)是亞純函數(shù)的解析辛方法是絕對線性穩(wěn)定的.絕對線性穩(wěn)定的辛方法既有解析方法(如Runge-Kutta辛方法),也有非解析方法(如基于常數(shù)變易公式對線性部分進(jìn)行指數(shù)積分而對非線性部分使用其它數(shù)值積分的方法).我們特別回顧并討論了R.I.McLachlan,S.K.Gray和S.Blanes,F.Casas,A.Murua等關(guān)于分裂算法的線性穩(wěn)定性結(jié)果,如通過選取適當(dāng)?shù)姆�(wěn)定多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造具有最優(yōu)線性穩(wěn)定性的任意高階分裂辛算法和高效共軛校正辛算法,這類經(jīng)優(yōu)化后的方法應(yīng)用于諸如高振蕩系統(tǒng)和波動(dòng)方程等線性方程或者線性主導(dǎo)的弱非線性方程具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性.我們通過分析辛算法在保持橢圓平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,能量面的指數(shù)長時(shí)間慢擴(kuò)散和KAM不變環(huán)面的保持等三個(gè)方面闡述了辛算法的非線性穩(wěn)定性,總結(jié)了相關(guān)已有結(jié)果.最后在向后誤差分析基礎(chǔ)上,基于一個(gè)自由度的非線性振子和同宿軌分析法討論了辛算法的非線性穩(wěn)定性,提出了一個(gè)新的非線性穩(wěn)定性概念,...

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【文章目錄】：
1. 引言
2. 辛算法的線性穩(wěn)定性
    2.1. 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性
    2.2. 辛算法的線性穩(wěn)定性
3. 辛算法的非線性穩(wěn)定性
4. 結(jié)論



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