【摘要】：本文討論一類偏微分方程N(yùn)eumann邊值問題定常多解問題,主要分為兩部分:首先研究正方形區(qū)域上Schr?dinger方程的多解問題,其方程如下:其中x_0是區(qū)域?=[-1,1]×[-1,1]的中心,p1,ε0,λ∈R,κ∈R和r≥0是給定的參數(shù).首先利用對稱破缺分歧理論和擬譜方法計算出區(qū)域?上方程(0.1)的非平凡解,之后由相應(yīng)問題的非平凡解枝出發(fā),分別取方程(0.1)中ε,λ或r作為分歧參數(shù),利用延拓方法得到方程(0.1)的對稱正解枝.延拓的過程中,發(fā)現(xiàn)潛在的分歧點(diǎn),通過建立擴(kuò)張系統(tǒng),精確計算出在該解枝上的對稱破缺分歧點(diǎn).我們利用基于Liapunov-Schmidt約化的解枝轉(zhuǎn)接方法,計算出區(qū)域?上方程(0.1)具有不同對稱性的多個正解,這些解恰是科學(xué)工作者更關(guān)注的.最后,給出該區(qū)域上方程(0.1)正解的對稱破缺分歧圖.第二部分主要研究正方形區(qū)域上Concave-convex系統(tǒng)的定常多解問題,其形式為:其中x_0是區(qū)域?=[-1,1]×[-1,1]的中心,0q1p,ζ∈R,λ∈R,κ∈R和r≥0是給定的參數(shù).基于Liapunov-Schmidt約化和對稱破缺分歧理論,我們利用擬譜方法計算出區(qū)域?上方程(0.2)的多個非平凡解.由相應(yīng)非線性問題的非平凡解枝出發(fā),同樣分別取方程(0.2)中λ,ζ或r作為分歧參數(shù),利用延拓方法,得到方程(0.2)的對稱正解.延拓的過程中,發(fā)現(xiàn)潛在的分歧點(diǎn),通過建立擴(kuò)張系統(tǒng),可以在該解枝上找到對稱破缺分歧點(diǎn).通過基于L-S約化的解枝轉(zhuǎn)接方法,計算出具有不同對稱性質(zhì)的正解.給出了該區(qū)域上方程(0.2)的對稱破缺分歧圖.數(shù)值結(jié)果表明我們這些方法是有效的.最后,全文對該方法進(jìn)行總結(jié)和展望.
【學(xué)位授予單位】：上海師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號：2619256